利率期限结构模型
交互式模拟 Vasicek 模型与 CIR 模型的随机微分方程（SDE）动态演化，直观对比两种经典利率模型的特性。
Vasicek模型（1977年）是最早的利率期限结构模型之一。它假设利率具有均值回复特性——利率会围绕长期均值 \(\theta\) 波动，偏离越大，回复力越强。扩散项为常数 \(\sigma\)，意味着利率波动不受当前利率水平影响。
- \(\kappa\) 均值回复速度：回复到 \(\theta\) 的速率
- \(\theta\) 长期均值：利率的长期均衡水平
- \(\sigma\) 波动率：随机冲击的强度
- \(r_0\) 初始利率：模拟的起始利率值
CIR模型（Cox-Ingersoll-Ross, 1985年）在Vasicek基础上引入平方根扩散项 \(\sigma\sqrt{r_t}\)。当利率接近零时波动自动减小，从而保证利率始终非负（在满足Feller条件时严格为正），更符合实际利率行为。
- \(\kappa\) 均值回复速度：同Vasicek
- \(\theta\) 长期均值：同Vasicek
- \(\sigma\) 波动率参数：乘以 \(\sqrt{r_t}\)
- \(r_0\) 初始利率：必须非负
📖 通俗介绍
利率不会永远上涨也不会永远下跌，它像一个被橡皮筋拴住的球——均值回复是利率最核心的特征。 Vasicek模型和CIR模型都用数学语言描述了这种"回归均值"的行为： 当利率高于正常水平（长期均值θ）时，有一股力量把它拉回来； 当利率低于正常水平时，同样会被向上拉。κ控制这股力量的强度，σ控制随机波动的幅度。
两者的关键区别在于波动率的结构：Vasicek假设无论利率高低，波动都一样大——这可能导致利率变成负数（现实中极少见）。 CIR则让波动率与利率的平方根成正比——利率越低波动越小，从而巧妙地将利率"锁"在非负区间，更贴近真实世界。
🎯 解决了什么问题
在利率模型出现之前，金融领域缺乏统一的数学框架来描述利率的随机演化。这两个模型解决了：
- 利率建模：为利率提供连续的随机过程描述
- 债券定价：可推导零息债券价格的解析解
- 风险度量：量化利率风险（久期、凸性等）
- 衍生品估值：为利率衍生品（期权、互换等）定价提供基础
💡 为什么重要
利率是金融体系的"万有引力"——它影响债券、贷款、抵押、衍生品等几乎所有金融工具。Vasicek和CIR模型：
- 是期限结构理论的里程碑，开创了无套利利率建模范式
- CIR模型是仿射模型家族的代表，至今仍是央行和金融机构的核心工具
- 为理解收益率曲线的形状和动态提供了理论根基
- 是更复杂模型（如Hull-White、HJM框架）的基础
🏦 应用场景
- 债券定价：计算各类固定收益证券的理论价格
- 利率风险管理：银行和保险公司的资产负债管理（ALM）
- 货币政策分析：央行模拟利率走势，评估政策效果
- 衍生品估值：利率期权、利率互换、上限/下限合约定价
- 情景分析：压力测试中生成利率情景
- 学术研究：期限结构理论的实证检验
⚠️ 缺陷与局限
Vasicek模型：
- 利率可能为负（在低利率环境下这反而成了"优点"，但历史上被视为缺陷）
- 常数波动率假设与市场观察不符（实际波动率随利率水平变化）
- 只有一个随机因子，无法捕捉收益率曲线的复杂形变
CIR模型：
- 在离散模拟中仍可能产生负值（Euler离散化的已知问题）
- 平方根扩散限制了波动率的灵活性，可能低估高利率时的波动
- 同样为单因子模型，无法拟合任意形状的初始收益率曲线
- 参数估计比Vasicek更复杂