久期与凸性：泰勒展开近似
使用一阶和二阶泰勒展开，精确模拟债券价格对利率变动的响应
数学模型：泰勒展开在债券定价中的应用
债券定价（现金流折现）
$$P = \sum_{t=1}^{n} \frac{C}{(1+y)^t} + \frac{F}{(1+y)^n}$$
泰勒展开（二阶）
$$f(x+\Delta x) \approx f(x) + f'(x)\Delta x + \frac{1}{2}f''(x)(\Delta x)^2$$
应用于债券价格变化
$$\frac{\Delta P}{P} \approx -D_{\text{mod}} \cdot \Delta y + \frac{1}{2} \cdot C \cdot (\Delta y)^2$$
一阶近似（仅久期）
$$\frac{\Delta P}{P} \approx -D_{\text{mod}} \cdot \Delta y$$
二阶近似（久期 + 凸性修正）
$$\frac{\Delta P}{P} \approx -D_{\text{mod}} \cdot \Delta y + \frac{1}{2} C (\Delta y)^2$$
麦考利久期 & 修正久期
$$D_{\text{mac}} = \frac{1}{P}\sum_{t=1}^{n} t \cdot \frac{CF_t}{(1+y)^t}, \quad D_{\text{mod}} = \frac{D_{\text{mac}}}{1+y}$$
凸性定义
$$C = \frac{1}{P(1+y)^2} \sum_{t=1}^{n} t(t+1) \cdot \frac{CF_t}{(1+y)^t}$$
| 符号 | 含义 | 说明 |
|---|---|---|
| P | 债券当前价格 | 所有未来现金流按当前收益率折现的总和 |
| ΔP/P | 价格变化百分比 | 收益率变动导致的债券价格相对变化 |
| Dmod | 修正久期 | 衡量价格对收益率的一阶敏感度（斜率） |
| C | 凸性 | 衡量久期随收益率变化的程度（曲率），二阶修正项 |
| Δy | 收益率变化 | 到期收益率的变化量（以小数表示，如+0.01代表+1%） |
| F | 面值 | 债券到期时偿还的本金 |
| C | 每期票息 | 面值 × 票面利率（年付息一次） |
交互模拟：调整参数观察泰勒近似效果
100.00
债券价格
7.72
修正久期(年)
68.23
凸性
通俗介绍
想象你持有一张债券，当市场利率变化时，债券价格会反向波动。久期就像一把"直尺"，用直线近似这种波动——利率涨1%，价格大约跌久期%。但实际价格变化是弯曲的，凸性就像给直尺加了一个"弯度修正"，让近似更精准。泰勒展开正是用一阶（久期）和二阶（凸性）来逼近真实价格曲线的数学工具。
解决了什么问题
在没有计算机的年代，快速估算债券价格变化非常困难。久期和凸性提供了简洁的近似公式，只需两个数字就能估算任意利率变化下的价格波动。即使今天，它们仍是交易员、投资组合经理快速评估利率风险的核心工具，无需每次都重新计算完整的现金流折现。
为什么重要
- 利率风险管理：久期是最广泛使用的利率风险度量指标，全球债券市场都在使用。
- 投资组合免疫：通过匹配资产和负债的久期，可以"免疫"利率波动的影响。
- 定价参考：凸性越大的债券，在利率下降时涨得更多，在利率上升时跌得更少——这对投资者有利。
应用场景与缺陷
应用场景：银行资产负债管理、固定收益投资组合构建、债券交易策略、养老金负债匹配、保险公司偿付能力评估。
主要缺陷：
- 平行移动假设：假设收益率曲线上所有期限的利率同步变化，现实中很少如此。
- 局部近似：泰勒展开在Δy较大时误差显著增大，仅适用于小幅利率变化。
- 忽略高阶项：二阶近似仍忽略了三次及更高阶的影响，对于含期权债券（如可赎回债券）误差更大。
- 静态假设：久期和凸性随收益率变化而变化，不是固定常数。
关键洞察：从图表中观察
在上方交互图表中，蓝色实线代表债券实际价格变化（现金流折现精确计算），红色虚线是一阶近似（仅久期），绿色虚线是二阶近似（久期+凸性）。可以观察到：在Δy接近0时，三条线几乎重合；随着|Δy|增大，一阶近似逐渐偏离实际值，而二阶近似仍然保持很好的贴合度。这完美诠释了泰勒展开的精髓——阶数越高，近似范围越广、精度越高。同时注意实际曲线始终在一阶直线之上，这体现了正凸性带来的"免费午餐"：利率下降时涨得更多，利率上升时跌得更少。