📐 偏微分方程方法 — Black-Scholes PDE

$$\frac{\partial V}{\partial t} + \frac{1}{2}\sigma^2 S^2 \frac{\partial^2 V}{\partial S^2} + (r-\delta)S\frac{\partial V}{\partial S} - rV = 0$$

欧式看涨期权解析解（实物期权中代表投资机会价值）：

$$C = S_0 e^{-\delta T} N(d_1) - K e^{-rT} N(d_2)$$
$$d_1 = \frac{\ln(S_0/K) + (r - \delta + \sigma^2/2)T}{\sigma\sqrt{T}}, \quad d_2 = d_1 - \sigma\sqrt{T}$$

🌳 动态规划方法 — 二项式树模型 (CRR)

$$u = e^{\sigma\sqrt{\Delta t}}, \quad d = \frac{1}{u}, \quad p = \frac{e^{(r-\delta)\Delta t} - d}{u - d}$$

反向递推（动态规划核心）：从到期日向前逐步计算每个节点的期权价值。

$$C_{i,j} = e^{-r\Delta t}\left[p \cdot C_{i+1,j} + (1-p) \cdot C_{i+1,j+1}\right]$$
$$C_{n,j} = \max(S_0 \cdot u^{n-j} \cdot d^{\,j} - K,\; 0)$$

📋 参数说明

S₀ 标的资产当前价值（预期现金流现值）
K 执行价格（投资成本）
r 无风险利率
σ 波动率（项目价值不确定性）
T 到期时间（决策窗口期，年）
δ 便利收益（持有期价值流失率）
n 二项式树步数（越大越精确）
N(·) 标准正态分布累积函数
控制面板 可调节
BS 解析解 (PDE)
14.23
偏微分方程方法
二项式树 (DP)
14.02
动态规划方法
可视化视图 ECharts

📖 关于实物期权 (Real Options)

标准介绍

实物期权是将金融期权定价理论应用于实物资产投资决策的分析框架。它将企业的战略投资机会（如R&D项目、矿产开发、新市场进入等）视为一种"期权"——企业有权但无义务在特定时间内进行投资。本页面演示两种核心计算方法：Black-Scholes偏微分方程的解析解和二项式树动态规划的数值解。

通俗介绍

想象你有一张"未来可以买一块地"的优惠券，有效期3年。现在这块地值100万，但未来价格不确定（可能涨到150万，也可能跌到70万）。你有权在3年内以100万的价格买入，但不是必须买。这张优惠券值多少钱？实物期权就是帮你算清楚这类"选择权"的价值——它量化了等待和灵活性的收益。

解决了什么问题

传统的净现值法（NPV）假设投资决策是"现在或永不"的刚性选择，严重低估了管理层在不确定环境中灵活应对的价值。实物期权方法能够：

  • 量化延迟决策的价值（等待更多信息）
  • 评估分阶段投资（如研发→中试→量产）的灵活性
  • 为不确定环境下的战略投资提供科学定价

为什么重要

在高不确定性行业（科技、能源、生物医药），管理灵活性可能占项目总价值的30%-60%。忽略期权价值的NPV分析会导致系统性地低估优质项目、错失战略机遇。实物期权将"不确定性"从敌人变成了可以定价和管理的资源。

应用场景

  • R&D投资：药企分阶段临床试验，每阶段完成后决定是否继续
  • 自然资源：矿产/油田开采权，价格低时暂停、高时开采
  • 房地产开发：持有土地等待最佳开发时机
  • 风险投资：分轮次注资，保留放弃或加注的灵活性
  • 基础设施：高速公路/港口扩建的选择权

模型缺陷与局限

  • 参数估计困难：波动率σ对非交易性资产难以准确估计
  • 假设简化：BS模型假设资产价格服从对数正态分布、连续交易
  • 单一不确定性来源：现实项目常面临多重不确定因素
  • 忽略竞争互动：竞争对手的行为可能影响期权价值
  • 执行价格不固定：实际投资成本可能随时间变化
  • 模型复杂度：二项式树步数需足够大才能收敛，计算量随之指数增长