决策者从某个风险选项（如投资、保险）中获得的平均心理满足感。它不是实际赚到的钱，而是你对这些钱的主观感受的加权平均值。
u(x)（效用函数）将客观结果（如金钱 x）转换为主观价值的数学规则。比如赚100万带来的快乐不是赚50万的2倍，而是更少（这就是“边际效用递减”）。
x_i （第 i 种可能结果）x_i 该选项可能带来的具体收益或损失，例如“赚100元”或“亏50元”。
p_i （第 i 种结果的概率）该结果发生的客观可能性，所有p_i 之和必须等于1。
p 和 1−p（二结果特例）当只有两种结果时（n=2）， p 是结果 x_1 的发生概率， 1−p 是结果 x_2 的发生概率。
期望效用理论是决策理论的基石。它告诉我们：面对不确定的结果时，理性决策者不会直接比较期望货币值， 而是比较期望效用值。效用函数 u(x) 刻画了对财富的主观满足程度， 凹的效用函数意味着风险厌恶——损失的痛苦大于同等收益的快乐。
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关于期望效用理论
期望效用理论（Expected Utility Theory）由约翰·冯·诺伊曼和奥斯卡·摩根斯坦于1944年在《博弈论与经济行为》中正式提出， 是微观经济学和行为决策理论的核心支柱。它提供了一个数学框架，用于理解人们在不确定条件下如何做出理性决策。
通俗介绍
想象你面临一个选择：确定拿到100元，还是抛硬币——正面得200元，反面得0元。两者"期望值"都是100元， 但大多数人会选择确定的100元。为什么？因为钱带来的满足感（效用）并非线性增长—— 从0到100元的幸福感提升，远大于从100到200元。期望效用理论用数学精确描述了这种心理：我们用凹的效用函数来刻画 "多一分钱带来的额外快乐越来越少"这一现象，从而解释为什么人们会规避风险。
解决了什么问题
在期望效用理论出现之前，人们用"期望值"来做决策，但这无法解释圣彼得堡悖论（人们不愿为无限期望值的游戏支付高价）。 期望效用理论通过引入主观效用函数，成功解释了：
- 为什么人们购买保险（规避风险）
- 为什么同样的钱对不同人的"价值"不同
- 如何在风险与回报之间做理性权衡
为什么重要
期望效用理论是现代经济学和金融学的理论根基。它是资产定价模型（如CAPM）、 保险精算、投资组合理论、拍卖设计和机制设计的基础。在人工智能和强化学习中，期望效用框架 也被广泛用于构建智能体的目标函数。理解它，就等于拿到了理解"理性决策"的钥匙。
应用场景
- 投资决策：在股票、债券、现金之间配置资产
- 保险定价：计算投保人愿意支付的保费上限
- 医疗决策：权衡治疗方案的疗效与副作用风险
- 公共政策：评估环境规制、安全标准的成本效益
- 博弈论：分析竞争对手在不确定环境中的策略
局限与缺陷
- 阿莱悖论：实验表明，人们在某些情境下系统性地偏离期望效用理论的预测
- 框架效应：同一问题用不同方式描述会改变选择，理论无法解释
- 损失厌恶：人们对损失的敏感度远高于收益（前景理论对此做了改进）
- 模糊厌恶：当概率未知时（模糊性），期望效用理论难以直接应用
- 假设过强：要求决策者具备完全信息且始终理性，现实中难以满足