非欧几何可视化：庞加莱圆盘双曲几何与球面几何

数学可视化列表

🌐

非欧几何 · 双曲与球面

同一个"三角形"，在曲率不同的空间里有不同的内角和

曲率 K = −1 · 内角和 < 180°

空间模型

双曲平面（K = −1）的共形模型：圆内是整片双曲平面，边界圆是"无穷远"。

显示

双曲三角形读数

角和 A + B + C —

∠A / ∠B / ∠C—

缺陷 d = 180° − 角和—

面积 = d（K = −1）—

三边 a / b / c—

顶点到圆心距离—

双曲几何要点

圆盘中的测地线是与边界圆正交的圆弧。三角形越往边上走，面积越大，角和越小 —— 角和永远达不到 180°，缺口就是面积（高斯–博内定理）。

面积 = π − (A + B + C)
cosh c = cosh a·cosh b − sinh a·sinh b·cos C

打开极限平行线：把 P₁P₂ 当作一条直线、P₃ 当作直线外一点，紫色虚线是两条"极限平行线"，它们之间的整个楔形里，每一条过 P₃ 的测地线都不与 P₁P₂ 相交。

角和 —

测地线（双曲直线）

极限平行线（与 P₁P₂ 不相交）

顶点（可拖动）

边界圆 = 无穷远；越靠边界，长度越长